Sarnak 教授是位涉猎广泛且影响深远的数学家。通过揭示许多深刻未知的数学关系，他的研究影响了多个数学领域的发展。在分析学领域的一系列奠基性工作中，他研究了对应于经典混沌动力系统的量子力学哈密尔顿算子的特征函数。他阐述并支持了“量子唯一遍历性猜想”，这一猜想断言所有负曲率流形上的拉普拉斯算子的特征函数 都是均匀地分布在相空间上。通过将数论中的工具引进到这个领域，Sarnak 不仅得到了一些看似遥不可及的结果，同时为进一步的研究铺平了道路，特别是最近与E. Lindenstrauss 和N. Anantharaman合作的工作。在L 函数方面，通过计算黎曼零点的相关函数，他和Z. Rudnick 将关于随机矩阵理论的自守形式和黎曼猜想之间的现代关系的研究带到了一个新的水平。这是自H. Montgomery 和A. Odlyzko 的研究以来在阐述随机矩阵理论和黎曼ζ函数的零点的统计特性之间的联系方面获得的主要进展。1999 年，他和N. Katz 合作的关于L 函数族的low-lying零点的统计性质研究是这些奠基性工作的顶点。Sarnak 关于拉马努金图的工作（和A. Lubotzky，R. Philips 合作）对组合学和计算机科学有着巨大的影响。这里，他再次将数论里面的深刻结果应用到其他领域并获得了令人惊讶的重要进展。